Simetri kavramı, kahinâtın her bir köşesinde kendine yer etmiş evrensel bir olgudur. Buradan da görülebileceği üzere fizik bilimiyle simetrinin yolunun kesişmesi kaçınılmazdır. Bu yazıda simetrinin fizik içinde özellikle elektrostatik alanında önemi ve birkaç kullanım alanı tartışılacaktır. Fakat buna geçmeden önce biraz simetriden bahsedelim.
1) Denge ve Tekrar
Simetrinin ironik bir şekilde tanımlanması, çeşitli bakış açılarına göre simetrik değil, yani değişkendir. Bunu daha iyi ifade edebilmek adına günlük hayattaki kullanımına göz atabiliriz. Konuşma dilinde bu, nesneler ve kişilerin şeklindeki güzel gözüken oranlar ve dengeli olarak dağılmış yapılanmalardır. İnsanlar da genellikle simetrik olan varlıkları daha güzel bulma eğilimi gösterirler. Geometride simetri ise çok daha kesin sınırlarla belirlenmiş bir tanıma sahiptir. Buna göre geometride bir obje simetrik ise o objeyi bir veya birden fazla birbirinin tıpatıp aynısı parçaya düzenli bir şekilde bölebilmemizden kaynaklanır. Bölmeyi yaptığımız durum da burada simetrinin türüyle ilgili bize ipucu sağlar. Örnek olarak mükemmel şekle sahip bir kelebeği dikey olarak tam ortasından ikiye bölersek elde ettiğimiz parçaların birbirinin ayna karşısında yansımaları olmasını bekleriz. Günlük hayat ve geometrideki tanımlamara ek olarak doğa bilimlerinde de mantıken simetrinin her yerde olmasını bekleyebiliriz. Kelebek örneğinde olduğu gibi biyolojide canlıların büyük çoğunluğu anatomik olarak simetrik özelliklere sahiptir. Kimyada moleküler simetri de bir başka örnek olarak verilebilir. Bütün bu verdiğimiz örneklerin ortak noktası ne olabilir? Bu soruya verilebilecek en basit cevap belirli değişimler sonucu değişmeyen özellikler bütünü olarak söylenebilir. işte tam bu noktada da matematik ve fizik için çok daha genel bir tanım yapmamız mümkün olmaktadır.
2) Matematik ve Fizikte Simetri:
Matematik dilinde konuşacak olursak simetri bir invaryans türüdür. Bunun anlamı, matematiksel bir objeye operatörler yoluyla bir dizi operasyon ve transformasyon uyguladığımızda değişmeyip aynı kalan özellikleri o operatöre göre simetriktir diyebiliriz. Bunu birkaç örnekle pekiştirebiliriz. Bu konuda en basit örnek çift fonksiyonlar olacaktır.
f(x)=f(-x)
cos(x)=cos(-x)
Bunun geometrik anlamı ise iki boyutlu kartezyen düzlemde fonksiyonun y eksenine göre simetrik olmasıdır. Tek fonksiyonlar da ise yukarıdaki eksi işaretlerin dışarıya çıkması beklenen bir durumdur. Durumu genelleştirmek adına bir adım daha ileriye gidersek, elimizde bir X matematiksel objesi olsun. Bu bir fonksiyon olabileceği gibi bir matris veya bir doğal sayı da olabilir. X matematiksel objesini A olarak tanımladığımız bir operatöre maruz bırakalım. X gibi A’nın da ne olduğuna dair bir sınırlama mevcut değildir fakat X’in türüne göre A da o tür içinde tanımlanmış bir operatör olmak zorundadır. Yani doğal sayılar için bölme operatörü kullanıyorsak bir matris için de Transpoz operatörünü kullanmak zorundayız.
\operatorname{\Alpha}\Chi =\Chi \bullet S
Yukarıdaki eşitlikte S olarak tanımladığımız ifade genel olarak X objesine A operatörü uygulandığında oluşan sonucun X objesi cinsinden kolayca ifade edilebileceğini gösterir. Bu ifade bazı simetrilerde doğrudan 1’e eşit olabileceği gibi bazılarında bir fonksiyon veya sabit bir sayı olarak gösterilebilir. 1’e eşit olduğu özel durum için de X objesi A operatörüne göre simetriktir diyebiliriz. Eğer S=-1 gibi bir durum olsaydı bu sefer de X objesinin A operatörüne göre antisimetrik olduğundan söz edebiliyor olacaktık. Fizikte de durum çok farklı değildir. Bu sefer matematiksel objemiz yerine fiziksel bir durumu tanımlayan veya fiziksel durumun ta kendisi olan bir obje gelecektir. Objemiz yine matematiksel olarak ifade edilse de fiziksel bir karşılığa sahiptir ve özelliklerinden çeşitli oynamalar fiziksel sistemimizde değişime sebep olmaktadır. Basit bir sarkacın Lagrange enerji ifadesi böyle bir fiziksel sisteme güzel bir örnektir. Bu alandaki simetriye elektrostatiğe geçmeden önce başka bir örnek verecek olursak kuantum mekaniğindeki Dirac notasyonunda operatörler arası yapılan komütatör işlemidir. K ve L iki kuantum operatörü olmak üzere
[K,L ]=0
Olduğunda iki operatör, çarpım işlemine göre, yer değiştirmediğinden simetriktir diyebiliriz. Bu kısımla ilgili daha detaylı bilgi öğrenmek isteyenler için yazının sonuna gerekli bağlantıları koyacağım.(2) Şimdi bu oldukça uzun ön hazırlıktan sonra yazımızın ana konusu olan elektrostatikteki simetriye geçmeye hazır olduğumuzu varsayıyorum.
2) Dual yapının Simetrik güzelliği:
Elektrostatik, en basit tanımıyla durgun yüklü sistemlerin fiziksel incelenmesidir. Yükler de hepimizin bildiği gibi pozitif veya negatif olmak üzere iki farklı kısma ayrılırlar. Aynı yüklerin birbirini ittiği, zıt yüklerin ise birbirini çektiği de genel bir bilgidir. Buradan sezgisel olarak nereye varmaya çalıştığımı anlayabilirsiniz. Eşit yüke fakat zıt işarete sahip iki nokta yük birbirini eşit büyüklükte ama zıt yönde kuvvetlerle çekeceklerdir. Yüklerin ve kuvvetlerin bu ikili doğası tam olarak simetrinin kullanılması için gereken ortamı hazırlamaktadır. Elektriksel olarak nötr sayılan cisimler de bu simetrinin sonucuna örneklerdir. Çünkü cismin üzerindeki bütün pozitif yüklere karşı eşit sayıda negatif yük bulunduğunda gerçekleşebilen bir durumdur bu. Benzer şekilde pozitif bir yalnız nokta yükün çevresinde oluşturduğu elektrik alan da negatif yükün elektrik alanının simetrik halidir.
Elektrik alanın da kendi içinde simetrik olmasının koşulları vardır. Nokta yükün, daha önce belirlediğimiz bir noktada oluşturduğu elektrik alan o noktanın nokta yüke olan uzaklığına göre belirleniyorsa uzaklığın sabit olduğu noktalar kümesinde de elektrik alanın değişmemesini bekleriz. Çok da şaşırtmayan şekilde bu özelliği sağlayan noktalar kümemiz bize iki boyutlu düzlemde bir çember verecektir. Böylelikle merkezi nokta yükümüz olan r yarıçaplı bir çemberin üstündeki bütün noktalarda elektrik alanın aynı olduğu sonucuna ulaşırız. Buraya birazdan tekrar döneceğiz.
Elektrostatik sistemlerde karşılaşılan temel problemlerden birisi sistemin düzgün geometrik dağılım göstermemesinden kaynaklanır. Böyle durumlarda fizikçilerin işi zorlaşır ve ortaya beklenenden çok daha fazla işlem zorlukları açığa çıkar. Bundan kurtulmak amacıyla da genellikle sistemi simetrik konfigürasyonların bir toplamı şeklinde ifade edebilecek çözümler ararız. Buna verilebilecek temel bir örnek, düzgün yük dağılımına sahip silindirin elektrik alanını bulmak ile plastik yapıdaki oyuncak ördeğin elektrik alanını bulma arasındaki muazzam zorluk fazlalığıdır. Tabii ördeği kusursuz bir elipsoid olarak kabul etmezsek… Eğer sistemimiz yeterince simetrikse yapacağımız işlemlerin ne kadar kolaylaşacağını göstermek adına iki adet simetriye dayanan yöntem inceleyeceğiz. Bunlardan ilki potansiyeli bulmak için kullanılır.
1)Görüntü Yöntemi
Genel olarak elektrostatik bir konfigürasyonun potansiyelini bulmak elektrik alanını bulmaya kıyasla çok daha kolaydır. Bunun temel sebebi elektrik alanın bir vektörel nicelik, elektrostatik potansiyelin ise skaler bir nicelik olmasından kaynaklanır. Bu, tabii ki de bütün sistemler için geçerli değildir fakat özellikle söz konusu iletkenler olduğunda baskın çıkmaktadır. Şimdi görünüşte basit olarak nitelendirilebilecek bir problem soralım. Sonsuz iletken metal bir plakanın d kadar yukarısında bulunan nokta yüklü sistemin herhangi bir noktada oluşturduğu potansiyel nasıl bulunur?
Bu çok meşhur bir problem olmakla beraber yazının fikrinin anlaşılması açısından bize oldukça yardımcı olacaktır. Nokta yükün potansiyelini bulmaktan farklı olarak bu problemi zorlaştıran olgu iletken levhadır. Levhanın yüzeyindeki potansiyel 0 olsa da İletkenler serbest yük içerdiklerinden +q’nun varlığıyla bu serbest yükler farklı bir dizilime girerler. Böylelikle iletken plakanın oluşturduğu elektriksel potansiyeli de hesaplarımızın içine katmamız gerekecektir. Bu levha sonsuz genişlikte ve iletken bir yapı olduğundan hiç kolay değildir. Laplace denklemini (3) kullanmadan bu problemi çözmek istiyorsak sistemin simetrik özelliklerinden yararlanmamız gerekir. Nokta yüklerin oluşturdukları elektrik alana 2. kısmın başındaki görsele dönerek tekrar bakalım. Bu görseldeki sarı çizgiler eş potansiyel çizgilerini ifade etmektedir. Yani bu çizgiler üzerinde potansiyel sabit olarak nitelendirilir.İşte görüntü yönteminin özü de tam olarak sabit potansiyel çizgilerinin kullanılmasından gelir. Gördüğümüz üzere bir iletkenin yüzeyindeki potansiyel de tıpkı görseldeki eş potansiyel çizgileri gibi sabittir. Artık gerisi tamamen sezgilerimize bırakılmıştır. O zaman yapacağımız şey çok basittir. İletkeni sistemden tamamen kaldırmak. Fakat bunu yaparsak problemimiz farklı bir probleme dönüşmez mi? Evet dönüşür ama biz zaten ilk problemimizin koşullarını ve özelliklerini biliyoruz. Eski problemimizin koşulu xy düzleminde her bir noktanın potansiyelinin 0 olmasıydı. Yeni problemimizde bunu sağlarsak iki problemin çözümünden elde edilen potansiyel ifadelerinin aynı olması beklenir.
Bunu nasıl mı yapacağız? Daha önceki görselimize benzer şekilde burada da elektrik alan çizgilerini görüyoruz. Çizgilerin birleştiği yüzey ise “simetri” den dolayı 0 potansiyel yüzeyi! O zaman ilk problemimizi çözmek için yapmamız gereken tek şey iletkeni ortadan kaldırıp orijinal q yükümüzle aynı büyüklükte ama zıt işaretli “görüntü” yükümüzü orijinden z ekseni üzerinde -d kadar aşağı yerleştirmektir! Görüntü yöntemi de tam olarak bundan ibarettir. Artık yeni sistemimizde iletkenimiz olmadığından bu ikili nokta yük kümesinin herhangi bir noktada oluşturduğu potansiyeli bulursak problemimizi çözmüş oluyoruz. Nokta yük sisteminin P noktasında oluşturduğu potansiyel; Şeklinde bulunabilir.(4) Şansımıza nokta yükler z ekseni üzerinde ve p noktasının bu yüklere uzaklığında değişen tek kısım z ekseni kısmı olmaktadır. Diğer uzaklık bileşenleri P noktasının kendi koordinatlarından kolaylıkla bulunabilir.
s_1=\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}
s_2=\sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}
olarak ifade edebiliriz. Böylelikle genel potansiyel ifademiz basit bir şekilde;
V=(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q} {\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}})-(\frac{1} {4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+ (z+d)^2}})
olarak bulunur. Böylece düzlemsel simetriden yararlanarak +q yükünün aynadaki yansıması şeklinde koyduğumuz -q yüküyle problemimizi rahatlıkla çözdük. Durum tabii ki de her görüntü probleminde böyle olmamaktadır fakat ana fikir genel hatlarıyla aynıdır. İkinci kullanım şeklimiz çok daha basit olmakla birlikte bir o kadar da önemlidir.
2)Gauss Yasası
Gauss yasası simetrik geometriye sahip sistemlerde elektrik alanı kolayca bulmamıza olanak sağlayan bir olgudur. Daha önce bahsettiğimiz nokta bir yüke eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu çemberin üstündeki her bir noktanın elektrik alanının aynı olması
durumundan yararlanılır. Buna göre sistemin geometrisine uygun bir gauss yüzeyi seçilir ve bu Gauss yüzeyindeki her bir noktanın elektrik alanı sistemin geometrisinden dolayı sabit olur. Gauss Yasası çok temel olduğundan Maxwell denklemlerinde de kendine yer bulmuş bir eşitliktir. Hem differansiyel formda hem de integral formda gösterilebilir. Bu yazıda integral formu kullanılacaktır. Gauss Yasası elektrostatik akıyla doğrudan ilişkilidir ve seçtiğimiz yüzeyden geçen “toplam akının” yüzey içinde kalan yükle orantılı olduğunu ifade eder. Yani;
\Phi(akı)=\oint \vec{E}\centerdot da
\Phi =\frac{Q}{\epsilon_0}
İntegralimizin üstündeki daire, integralin kapalı bir yüzey üzerinde alındığını ifade ederken Q yükü de seçtiğimiz Gauss yüzeyinin içinde kalan yüktür. Bütün bunların en kolay kısmı ise yine güzel simetriden dolayı elektrik alanın bütün gauss yüzeyinde sabit olması ve E ifadesini rahatlıkla integral dışına atabilmemizdir. Bunu da yaptıktan sonra içerisinde yalnızca da bulunan integral sistemin sadece geometrisine bağlıdır. Yüzeyin içinde kalan yük için de sistemin yük yoğunluğundan yararlanabiliriz. Üç boyutlu hacimsel bir yapı için bu;
\rho=\dfrac{dq}{d\tau}
Burada hacim ifadesi potansiyelle karıştırmamak adına tau olarak verilmiştir. Bu eşitlik ve yukarıdaki eşitlikleri simetrinin de yardımıyla kullanarak birçok sistemin elektrik alanını bulabiliriz.
3)Kapının ne kadarı aralandı?
İkili yüklerin ve geometrik simetrilerin elektrostatik için nasıl sonuna kadar kullanılabileceğini gördük. Fakat hepsi bu değil. Elektromanyetizma dalında simetriye her yerde rastlamak mümkün. Çünkü simetri fizik tekelinde değil yazının başında da belirtildiği üzere evrensel bir olgudur. Bu yüzden de matematikteki genel tanımıyla bütün kullanım alanlarımızı bir şekilde bağlayabiliriz. Nasıl tıpkı elektrostatikte potansiyel, elektrik alan, elektriksel kuvvet gibi kavramların birbiriyle yakından ilişkili olması gibi farklı alanlardaki simetri tanımlamaları da aynı tutarlılıkla birbirlerinin farklı yansımalarıdır. Tam olarak aynı olmasalar da uygun koşulları sağladığımız takdirde (bkz: doğa bilimleri) hepsi benzer özellikleri gösterirler.